직육면체가 특정한 면으로 착지할 확률 - 부연설명 직육면체가 특정한 면으로 착지할 확률 - Astral Epic
직육면체가 특정한 면으로 착지할 확률(실험) - 추유호's encyclopedia

위 링크는 직육면체를 던졌을 때, 넓은 면 또는 좁은 면으로 착지할 확률을  구하는 문제에 대한 글입니다.
Astral이 문제를 푸는 수학모델을 제시하고, 추유호님이 실제로 마작 패를 이용해서 실험을 하셨습니다. (추유호님 엄청 번거로우셨을텐데;;; 대단하십니다.)

저도 흥미롭게 읽었는데, 한가지 부연 설명을 할 것이 있어서 글을 쓰게 되었습니다.

제가 지적하고 싶은 것은, 단순히 직육면체 모양만이 확률을 결정하는 것이 아니라는 점입니다.
확률은 아마도 직육면체의 질량과 직육면체를 던질 때 드는 운동에너지와도 관련이 있을 겁니다.

2차원 직육면체를 예로 들죠.


일단 문제를 간단히 하기 위해서, 직육면체가 땅바닥에서 몇번 튀어오르다가 최종적으로 튀어오르는 탄성에너지가 다 사라졌다고 가정해봅시다.
그래도 아직 "남은 운동에너지"가 직육면체를 회전시킬 가능성이 남아있습니다. 처음에는 직육면체가 넓은 면으로 착지했더라도 말이죠. 만약 위의 그림처럼 직육면체가 회전해서 결국 질량 중심이 수직선을 넘어가게 된다면, 최종적으로 좁은 면을 바닥으로 착지한 셈이 됩니다.¹

이 때 착지면을 넓은 면에서 좁은 면으로 바꾸는데 필요한 최소한의 에너지는
m은 직육면체의 질량이고, g는 중력가속도입니다. 오른쪽 그림의 질량중심의 위치에너지에서 왼쪽 그림의 질량중심의 위치에너지를 빼준 값이죠.

마찬가지로 착지면을 좁은 면에서 넓은 면으로 바꾸는데 필요한 최소한의 에너지는 가 됩니다.

탄성에너지가 0이 되었을 때 최종적으로 "남은 운동에너지" E의 값은 우리가 정확히 알 수 없죠. 그러니 남은 운동에너지 E가 정규분포를 따른다고 가정해봅시다.

Astral의 수학모델이 맞다고 하더라도, 직육면체의 질량과 운동에너지 값에 따라 보정을 해줘야 하지 않을까 합니다. 대충 다음과 같이 말이죠.

• 위의 분포그림에서 에너지 값이 A영역 안에 들어올 경우:

            좁은 면->넓은 면, 넓은 면->좁은 면 회전이 일어나지 않으므로 보정해줄 필요가 없습니다. 이럴 땐 Astral의 모델의 가정이 맞을 수 있습니다.

• 에너지 값이 B영역 안에 들어올 경우:

            좁은 면->넓은 면 회전만 일어날 수 있습니다. 따라서 좁은 면으로 착지할 확률이 줄어들고 그만큼 넓은 면으로 착지할 확률이 늘어납니다.

• 에너지 값이 C영역 안에 들어올 경우:

            좁은 면->넓은 면, 넓은 면->좁은 면 회전이 둘 다 일어나므로  두 확률을 다 보정해줘야합니다.


보정을 얼마나 해줘야 하는가는 더 복잡한 문제입니다. 남은 에너지가 회전에 필요한 최소 에너지보다 크다고 해서 반드시 회전이 일어나리라는 법은 없으니까요. 이것도 회전이 일어날 확률분포함수를 가정하고 풀어야겠지요. 문제는 3차원 직육면체를 고려하면 경우의 수가 훠얼씬 복잡하다는 겁니다. ;;; 탄성에너지가 완전히 사라지고 나서 회전한다는 가정이 너무 단순한 것도 문제겠지요.

이럴 때는 물리 시뮬레이션 프로그램을 만들어서, 애니메이션 프레임수준에서 직육면체의 에너지 변화를 관찰해보는게 좋을 것 같네요. 제대로 파고 들어가면 주사위의 "랜덤성"에 대해서도 뭔가 통찰을 얻을 수 있지 않을까 조심스럽게 예상해봅니다. 시간 나면 한번 시뮬레이션 프로그램을 짜봐야겠네요.

음.. 어쩌면 누가 이런 걸 연구해서 논문을 썼을지도 모르니 그것부터 찾아보는게 먼저일 수도 있겠군요.;;